SIMETRIA MATEMÁTICA - TEMA DE MONOGRAFIA

Voltar para Monografia Dificuldade Matemática

Uma temática interdisciplinar que envolve a Matemática e é imaginada por muitos alunos que buscam um assunto para sua monografia é sobre a simetria. Sempre se considerou a simetria como um tipo de acidente na geometria. Em outros aspectos como a Biologia (saiba mais sobre monografia de Biologia), a simetria faz parte da evolução, ter dois olhos localizados simetricamente é muito menos custoso que os ter assimétricos, corpos como as estrelas de mar apresentam uma disposição de seus braços que parecem ter mais sentido estético, no entanto há razões que indicam que a forma simétrica da estrela de mar faz sentido quanto à coleta de seus alimentos de maneira mais simples e a forma mais básica de dispor cinco pontos é a forma pentagonal, já que é simplesmente uma repetição cinco vezes uma distância.

Vários TCCs em Medicina Estética tratam a beleza inerente à simetria matemática no rosto.. Seguindo o que neles é um costume, os matemáticos se puseram a medir a tudo e começaram a considerar que a geometria, ou mais bem dito, as geometrias, eram uma conseqüência da geometria.

Desde a Grécia Antiga a perfeição desta ciência já foi denotada, sendo que Platão criou muito de sua obra embasado por tal conhecimento. Veja mais sobre A FILOSOFIA MATEMÁTICA DE PLATÃO

Felix Klein, um matemático alemão, foi o que converteu as simetrias em algo fundamental e as geometrias em algo secundário. Como bom alemão, Klein quis pôr ordem no caos da geometria. No entanto, em vez de pôr-se a catalogar todas as possibilidades, introduziu um novo elemento na estrutura matemática. Em 1872, na Universidade de Erlangen, deu uma aula magistral que passou à história sob o nome de Programa de Erlangen, que por si só é muito adotado em um bom projeto de pesquisa que aborde a metodologia experimental geométrica.

Saiba mais sobre Projeto de Pesquisa

A essência do programa de Klein consistia em afirmar que a geometria é teoria de grupos. Os grupos se formam a partir das transformações que deixam invariáveis as noções básicas da geometria, mas esta relação se pode inverter, de forma que, segundo as palavras do alemão "as propriedades geométricas se caracterizam por sua invariabilidade ao ser submetidas a um grupo de transformações" cada tipo de geometria possui seu próprio grupo; no entanto, dentro do marco desse grupo, cada geometria se desenvolve seguindo linhas análogas. A teoria de grupos proporciona esse terreno comum que constitui a conexão entre as diferentes geometrias.

Por exemplo, na geometria euclideana as noções básicas são as distâncias e os ângulos. As transformações que conservam as distâncias e os ângulos são precisamente os movimentos rígidos. A idéia de Klein consiste em modificar este argumento: tomar o grupo de movimentos rígidos como objeto básico e, a partir daí, deduzir a geometria. Assim, um conceito geométrico que seja legítimo na geometria euclideana é algo que permanece invariável depois de aplicar-lhe um movimento rígido. Um conceito deste tipo é por exemplo o triângulo retângulo, no entanto o conceito horizontal não o é, porque as linhas retas se podem inclinar ao aplicar-lhes movimentos rígidos.

A obsessão de Euclides pelos triângulos semelhantes como método de demonstração se torna assim transparente, já que dois triângulos são semelhantes quando um deles pode ser colocado sobre a parte superior do outro mediante um movimento rígido.

Numa das variedades de geometrias não euclideanas, a geometria elíptica, as paralelas não existem no absoluto. Em outra das variedades, a geometria hiperbólica, as paralelas existem em ases infinitos. Cada tipo de geometria não euclideana tem seu próprio grupo de movimentos rígidos: movimentos que conservam as distâncias, segundo a particular idéia de distância que exista para essa geometria. E cada uma delas é uma ótima possibilidade para uma monografia na área da Matemática.

Como exemplo destas geometrias se inclui uma figura que mostra uma litografia de Escher baseada na geometria hiperbólica. Ainda que os anjos e os demônios parecem encolher-se à medida que se acercam à beira do círculo, isto é certo somente segundo a típica noção euclideana de distância. Na noção de distância vigente na geometria hiperbólica, todos os anjos e todos os demônios são idênticos, formando uma espécie de plano hiperbólico. É evidente que este plano tem muita simetria.

O ponto de vista de Klein exerceu uma grande influência, não só porque unificava a ampla gama de geometrias, e só este tema vale um ótimo artigo científico, também porque os matemáticos de sua época iam descobrindo que seus problemas se centravam cada vez mais em torno das transformações e os grupos.

Henri Poincaré dizia que "a teoria dos grupos é, em certo modo, como se tomássemos as matemáticas em seu conjunto e as despojássemos de sua matéria para deixá-las reduzidas em sua forma pura".

A partir deste ponto o desenvolvimento das teorias de grupo foi imenso e teve muitos seguidores mas não é nossa intenção falar deles, não porque não sejam importantes, sem dúvida que o são e muito, mas queria concluir contando que podem existir, como vimos, múltiplas formas de geometria, e não é precisamente a euclideana a que se adapta melhor à natureza, nem tampouco como se acredita, a única possível de imaginar em nossas mentes,

Einstein dá um exemplo fantástico disto no famoso ensaio, onde diz ao final do texto "Hoje, meu único objetivo foi demonstrar que a faculdade humana de visualização não está condenada a render-se ante a geometria não euclideana". Quem explorar este aspecto próprio em sua monografia final de Matemática ou seu TCC em geometria aplicada vai ganhar muitos pontos com seu orientador de monografia.

Saiba mais sobre orientador de monografia

O que se deve ter claro é que há demasiadas interpretações de como é nosso mundo, tantas como indivíduos se se quer e se o que pretendemos é procurar o consenso, este a meu juízo não chegará nunca, porque se assim fosse chegaria um momento no qual encontraríamos a verdade absoluta e aí não deteríamos, parece-me melhor pensar, dado a que a história nos ensinou que todas as teorias se refutaram, que vivemos de uma ciência labiríntica a qual não tem uma única saída.

Um dos filmes mais famosos do diretor de cinema japonês Akira Kurosawa, Rashomon, apresenta uma seqüência de acontecimentos que a princípio parece muito simples. Uma mulher jovem é atacada quando viaja através da floresta com um grupo de amigos e parentes. O que ocorre a seguir é uma série de relatos dos acontecimentos por parte de todos os participantes. Cada relato é diferente, muito diferente, mas cada um é o relato de uma testemunha ocular dos mesmos acontecimentos. Poder-se-ia esperar que estas contradições se resolvam ao final, deixando a história como um relato simples e singelo da verdade absoluta do que aconteceu. Mas não ocorre tal desenlace e, quando o filme termina se fica refletindo em como nosso desejo de uma visão inequívoca do mundo é tão fortemente sentido e tão raramente satisfeito.

Quiçá tudo é parte de nossa paranóica mentalidade a qual trata de encontrar relações em todos os lados e quando se repete uma dezena de vezes estabelecemos leis as quais cremos tautológicas.

Mas isso é assunto para uma outra monografia...

Um dos ramos em que a Matemática se encontra mais prejudicada, com menor interesse por parte dos alunos no Brasil, tanto na Graduação como na pós-graduação é a estatística - Saiba mais sobre MATEMATICA ESTATISTICA

Veja ainda um excelente artigo monográfico sobre a HISTÓRIA DA TECNOLOGIA NA PESQUISA MATEMÁTICA